\documentclass[a4paper,UTF8]{article}
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\newcommand{\weiyuan}[1]{\ensuremath{\mathrm{d}} #1}
\newcommand{\daoshu}[2]{\frac{\weiyuan{#1}}{\weiyuan{#2}}}
\newcommand{\vct}[1]{\boldsymbol{#1}}
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\usepackage{amsthm}

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\begin{document}
\section{刚体与刚体动力学}
刚体是由多质点构成、内部应力无限大的物体；刚体的运动包含 $6$ 个自由度，即刚体的平动自由度和转动自由度.
\subsection{转动惯量等}
一般情况下考虑的是定轴转动，记质点 $m_i$ 离轴的距离为 $r_i$ ，转动角速度为 $\omega$ 则转动惯量为：
$$I=\sum m_i r_i^2$$
角动量：
$$J=I\omega$$
类似于加速度的概念，有角加速度 $\beta=\dot{\omega}$，有：
$$M=I\beta$$
转动的动能为：
$$E_k=\frac{1}{2} I \omega^2$$
转动的角动量为：
$$J=I \omega$$
\subsection{一些常见形状的转动惯量}
均匀分布的圆环：
$$I=mr^2$$
圆盘/圆柱：
$$I=\frac{1}{2} mr^2$$
长杆，转动轴过一端：
$$I=\frac{1}{3} ml^2$$
过中点：
$$I=\frac{1}{12} ml^2$$
球壳：
$$I=\frac{2}{3} mr^2$$
球体：
$$I=\frac{2}{5} mr^2$$
\subsection{平行轴定理与垂直轴定理}
$$I=I_c+mr^2$$
$$I_z=I_x+I_y$$
\section{转动非惯性系}
假设 $S'$ 系相对于 $S$ 系以 $\vct{a}_0$ 的加速度平动，$\vct{\omega}$ 角速度转动，首先分析坐标轴单位向量：
\newcommand{\ve}{\vct{e}}
$$\ve_x'=\ve_x\cos\theta +\ve_y\sin\theta$$
$$\ve_y'=\ve_y\cos\theta -\ve_x\sin\theta$$
$$\ve_z'=\ve_z$$
求导，有：
$$\dot{\ve_x'}=-\ve_x\sin\theta\omega +\ve_y \cos\theta \omega=\omega \ve_y'=\vct{\omega}\times\ve_x'$$
$$\dot{\ve_y'}=-\ve_x\sin\theta\omega -\ve_x \cos\theta \omega=-\omega \ve_x'=\vct{\omega}\times\vct{\ve_y'}$$
所以在 $S'$ 系内的矢量求导，有：
$$\left(\daoshu{\vct{R}}{t}\right)_{S}=\left(\daoshu{\vct{R}}{t}\right)_{S'}+\vct{\omega}\times \vct{R'}$$
\newcommand{\omt}[1]{\vct{\omega}\times {#1}}
由此得到：
$$\vct{v}=\left(\daoshu{\vct{r}}{t}\right)_{S}=\left(\daoshu{\vct{r}}{t}\right)_{S'}+\vct{\omega}\times \vct{r}=\vct{v'}+\omt{\vct{r}}$$
再求导，有：
\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        \vct{a}&=\left(\daoshu{\vct{v}}{t}\right)_S=\left(\daoshu{\left(\vct{v'}+\omt{\vct{r}}\right)}{t}\right)_S\\
        &=\vct{a'}+\dot{\vct{\omega}}\times\vct{r}+2\omt{\vct{v'}}+\omt{\omt{\vct{r}}}
    \end{aligned}
\end{equation*}
由此有：
$$\vct{a'}=\vct{a}-\dot{\vct{\omega}}\times\vct{r}-2\omt{\vct{v'}}-\omt{\left(\omt{\vct{r}}\right)}$$
式中第三项被称为科里奥利力（科氏力），第四项为惯性离心力.
\subsection{视重}
\section{线性回复力与简谐运动}
\subsection{判定方法}
\begin{itemize}
    \item 简谐力：$$F=-kx$$
    \item 运动方程：$$x=A\cos\left(\omega t+\varphi\right)$$
    \item 动力学方程：$$a+\omega^2x=0$$
    \item 能量判定：$$\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=E$$
\end{itemize}
\subsection{相关性质}
我们从简谐力判定开始：
$$F=ma=-kx$$
$$\ddot{x}+\frac{k}{m} x=0$$
通过一些数学方法，上式可以推出：
$$x=A\cos\left(\omega t+\varphi \right)$$
$$v=-\omega A\sin\left(\omega t+\varphi \right)$$
$$a=-\omega^2 A\cos\left(\omega t+\varphi \right)$$
$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
能量有：
$$\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2} mv^2=E$$
\subsection{例题}
\subsubsection{弹性力+重力}
\subsubsection{弹性力+摩擦力}
\subsubsection{单摆}
\subsubsection{跨越地心的通道}
\subsubsection{练习 8-11}
\section{简谐波}
\subsection{基本方程}
$$y(x,t)=A\cos\left(\omega t-kx\right)$$
波长：
$$\lambda=\frac{2\pi}{k}$$
周期：
$$T=\frac{2\pi}{\omega}$$
\subsection{反射与折射}
\subsubsection{反射}
反射角等于入射角
\subsubsection{折射}
$$\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_1}{v_2}=n_{21}$$
\subsection{干涉、衍射、驻波}
\subsection{多普勒效应}
$$\nu'=\nu\frac{1+\frac{u}{V}}{1-\frac{v}{V}}$$
\end{document}
